Koliko trikotnikov vidite

Nič takega ni norela matematična težava, optična iluzija, ki se upogibaali zvita logična sestavljanka ustaviti vso produktivnost v Priljubljena mehanika pisarna. Po naravi smo radovedni ljudje, vendar tudi skupno trmo vztrajamo, da smo prav, prekletoin tako smo navadno delo vrgli ob strani, kadar koli naletimo na težavo z več na videz možnimi rešitvami.

Ta nakazovalnik možganov v trikotniku ni nov - kričite Popsugar za odstranjevanje pred nekaj leti - a na podlagi neke senčne internetne magije se je spodnji tvit ponovno pojavil v mojem feedu in začel novo debato o našem osebju Slack kanal, kraj, ki je tradicionalno rezerviran za ideje o nakupu delavnic, a se večinoma uporablja za kričanje o drugih stvareh, ki jih občasno spremenimo vsebino.

Ker sem mazohist, sem spet narisal trikotnik in vse osebje prosil, naj takoj spustijo, kaj počnejo, in poskušajo rešiti preprosto vprašanje: Koliko trikotnikov najdete?

Privoščil vam bom celoten pogovor - verjemite mi, tega nihče noče videti - vendar so se odzivi ekipe vrstili povsod. Nekateri uredniki so videli štiri trikotnike. Drugi so videli 12. Nekaj ​​jih je videlo 6, 16, 22. Še več jih je videlo 18. Eden modrojev je v samem vprašanju preštevil trikotnike v A, drugi pa se je zdel eksistencialni kriza: "Nobena od teh črt ni resnično ravna, samo krivulje, zato nobene od njih ne morete opredeliti kot trikotnik," je dejal je dejal. "Na tej fotografiji ni trikotnikov. Življenje nima pomena. "

Težavo smo nato postavili svojim sledilcem na Instagramu, katerih odgovori so prav tako pokrivali razpon, od 5 do 14 do 37. Čeprav tukaj priznavamo veliko verjetnost, da se bomo vozili, je jasno, da se ljudje na težavo odzivajo na različne načine.

Cel dan sem lahko poslušal svoje kolege, kako so razlagali njihove vprašljive procese, namesto tega pa sem se obrnil na več strokovnjakov za geometrijo in preveril, ali lahko pridemo do soglasnega odgovora. Izkazalo se je, da so skoraj vsi matematiki, s katerimi sem vzpostavil stik, našli isto rešitev - vendar niso vsi ugotovili na enak način.

Če odgovora še ne želite vedeti, nehajte brati in najprej poskusite rešiti težavo. Se bom srečal tukaj, ko končate.

Hej, to je bilo hitro. Ste pripravljeni na odgovor? Za razliko od nekaterih težave z virusno matematiko ki so namerno nejasne in odprte za interpretacijo, ta dejansko ima rešitev, brez dvoma, o tem, in to je 18. Poslušajte od nekaterih strokovnjakov za geometrijo, zakaj.

"K temu bi pristopil tako, kot bi se kdo lotil kakršnega koli matematičnega problema: zmanjša ga in poišče strukturo," pravi Dr. Sylvester Eriksson-Bique, podoktorski študij matematike University of California Los Angeles oddelek.

Erikson-Bisque pravi, da trikotniki na risanju, ki sem ga narisal, oblikujejo samo, če je zgornja točka (kot) del trikotnika. Osnova trikotnika bo morala biti ena od treh stopenj spodaj. "Obstajajo tri stopnje in na vsaki lahko izberete bazo med šestimi različnimi načini. Tako dobite 18 ali 3-krat 6 trikotnikov. "

Poglejmo še enkrat glavni trikotnik

"Primerno je posploševati na primeru, kjer obstajajo n črte, ki potekajo skozi zgornjo točko, in str vodoravne črte, "pravi Francis Bonahon, doktor matematike na univerzi v Južni Kaliforniji.

V našem primeru oz. n = 4 in p = 3. Vsak trikotnik, ki ga najdemo na risbi, mora imeti eno zgornjo točko in dva druga v isti vodoravni črti, tako da je za vsako vodoravno črto število trikotnikov z Bonahon pravi, da je dve točki na tej črti enako številu načinov, kako lahko izberemo ta vertikala, in sicer število načinov, na katerih lahko izberemo dve različni točki nali »n izberite 2. "

Se spomnite srednješolske matematike? To je n(n-1)/2. In odkar obstajajo str vodoravne črte, pravi Bonahan, to dajejo p n(n-1) / 2 možna trikotnika. V našem primeru je to 3x4 (4-1) / 2 = 18.

Tukaj je priročna razčlenitev, kako najti vsak možni trikotnik:

Johanna Mangahas, doktorica, docentka matematike na univerzi v Buffalu, je prav tako prišla do 18 let - najprej s preprostim štetjem silovite sile, nato pa prek istega spretnega štetja kombinatorika kot zgoraj - vendar priznava, da naš trikotnik možganov ni ravno tako kul kot ta iz Po-Shen Loha, doktorja matematike na univerzi Carnegie Mellon v Pittsburgh, as predstavljen v New York Timeslansko leto:

Ta ima matematični odgovor vitkejše, saj pravi, da je tu štetje trikotnikov isto kot štetje kombinacij treh vrstic, izbranih od šestih [6-select-3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)].

"V tem primeru se vsak par črt križa in ni treh ali več križišč, zato vsaka izbira treh vedno daje trikotnik," pravi Mangahas. Na sliki, ki sem ji jo poslal, so nekatere črte vzporedne, tako da ne morejo biti del istega trikotnika. "Če bi vzeli enakih sedem vrstic in jih malce pretresli, je verjetno najbolj verjetno pristati, kot je [Lohova] težava, in imeli bi več trikotnikov in podoben prisrčen odgovor. "(Za zapis: 35.)

Whew. Te težave z novim trikotnikom še nisem delil s svojimi sodelavci. Toda le vprašanje časa je, preden jo odkrijejo, in še nekaj argumentirati.

🚨POMEMBNO UPORABA 1/30/20🚨: Od objave te zgodbe so mnogi, veliko bralci so mi dali vedeti, da čeprav je 18 res sprejemljiv odgovor na to težavo, to ni tisto samo ena zaradi nehotenega nadzora moje strani. To bi lahko precej olajšal bralcem - in kar je bistveno lažje v nabiralniku - če bi samo narisal trikotnik na navaden, bel računalniški papir. Vendar ne.

Žal sem narisal ta trikotnik na podložen papir in veliko pametnih ljudi je pravilno poudarilo, da je dobro, pravzaprav, če štejete svetlo modre vzporedne črte na sliki poleg temno modrih črt, zapisanih v markerju, je tukaj dejansko več kot 18 skupnih trikotnikov - bistveno več. Nikoli nisem določil, da naj uporabljam samo tiste temno modre črte, in tako se motim. Prav imaš.

En bralec, Ralph Linsangan, me je popolnoma pošiljal s pošiljanjem te slike, v kateri označuje vsak dodatni trikotnik, ki ga najdete pod tehnično opremo, in označi 17 dodatnih trikotnikov, skupaj 35. Glej:

Takšna predanost je le eden izmed mnogih razlogov, ki jih imam rad Priljubljena mehanika bralci. Fantje ne moremo ničesar mimo. Do naslednje dražljivke!

🚨Še ena posodobitev s trikotnikom 1/31 / 20🚨: Od objave zadnje posodobitve sem slišal celo več od tebe, še naprej me šibajo - in vaši kolegi bralci - ker niso razmišljali o dodatnih možnih trikotnikov. Poslušamo bralca Dereka Schneiderja, ki je poslal drugo grafiko, v kateri je predlagal, da je 45 trikotnikov.

Če pa sledimo izvirnim pravilom, štejem in dodatnih 9, ki so dokončno (v zeleni barvi) in tisti, ki bi lahko bodite odprti za interpretacijo, odvisno od tega, kako vizualno postavite zgornjo točko (v vijolični barvi)… Jaz bi osebno štel to.

Bralec je medtem pisno rekel, da delamo "hudo napako" pri štetju trikotnikov ves čas:

V spodnjem desnem kotu, na primer, kaže puščica za trikotnik. Vendar bi lahko te svetlo modre črte v tem enem kotu tvorile kar tri trikotnike:

Medtem ko so nekateri od njih lahko nekoliko diskutabilni (tj. Tam, kjer se svetlo modre črte sekajo temne in tehnično tvorijo trikotnik ali štirikotnik), štela sem sedem DODATNIH trikotnikov, ki so lahko sestavljeni v tem način. Tako se skupno število trikotnikov poveča na 42.
Slaba novica je, da smo zgrešili nekaj trikotnikov. Dobra novica je, da to potrjuje, da ima življenje očitno POMEMBNO, kar dokazuje natančno število: 42.

Izjemna točka, Ponosen. Bralec James Goodrich je storil še korak naprej in predlagal, da odpremo svoj um, da razmislimo, kaj bi lahko bil trikotnik:

No, po vašem bralcu, ki je izpostavil 17 dodatnih trikotnikov (z uporabo "Andrew ni določite, katere vrstice lahko vsebujejo 3 klavzule trikotnika ", ni bilo mogoče najti precej veliko več. Vzemite za primer spodnji levi mini trikotnik v dodatku „Pomembna posodobitev“ 30. januarja 2020. Ali ne bi območja mini trikotnika in območja romba, ki je zraven njega, skupaj naredila za drug trikotnik?

Še ena ideja za razmislek: Trikotniki imajo 3 kote (kdo bi uganil?); vendar bi postuliral, da bi način, kako opisujete trikotnik, z omenjenimi koti ustvaril različne trikotnike. Glede na trikotnik T s točki A, B in C lahko t-ena resnično opiše ABC, pri čemer je B osrednji kot. Predlagam, da je t-two, ki jih opisuje BAC, drugačen. Podobno velja za BCA.

Če vzamemo poseben primer, pravokotne trikotnike, lahko izpeljemo sinusne, kosinusne in tangentne funkcije (SOH, CAH, TOA). Če bi to uporabili na trikotniku (in sprostili zahtevo pod pravim kotom, bi to lahko pomenilo, da je BAC drugačen kot CAB. Seveda so izjeme narejene za izoskoleze in enakostranske trikotnike (slednji bi imel le 3 različne opredelitve trikotnikov).

Nisem si ravno zamislil, kako bi količinsko opredelil vsak predlog (in uporaba slednjega po prvem bi povečala štetje še vedno), zato nimam lahke številke, ki bi jo lahko uporabil v posodobljeni pomembni posodobitvi (če se vam zdijo moje ideje vredne nadgradnja).

Jaz sem, James. In čakal bom Previdno sem se odločil, da bom izvedel še zadnji udarec, ko bom ugotovil, koliko dodatnih trikotnikov bi lahko dobili naša nova kaotična pravila, in prišel pri 43 letih, skupaj 61:

Prepričan sem, da mi bo nekdo, ki to bere, zelo hitro sporočil, da še enkrat nisem v redu, in predložil dokaz še bolj skritih trikotnikov, kar me je napotilo po dolgi in vijugavi poti do druge zajčje luknje norost. (Stranska opomba: Svojo ženo nisem videl tri dni. Prosim, povejte ji, da jo imam rad.) Zato objavljam še en zadnji izziv: Če v prvotni sliki najdete največ možnih trikotnikov, mi pokažite svoje delo in dokončno dokažite vašo nadvlado, to zgodbo bom posodobil končno in vas okronal za trikotnega kralja ali kraljico za vedno. Hitrost